Question

已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公比為q，它的前n項(xiàng)和為S_n，且T_n=

Sn

Sn+2

，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的極限,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分q=1和q≠1求出S_n和S_n+2，對(duì)于q≠1時(shí)再分q=-1、|q|＜1、|q|＞1分類求得數(shù)列極限．

解答： 解：當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n，S_n+2=n+2，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

n

n+2

=

lim

n→∞

1

1+ 2 n

=1；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

1-qn

1-q

，Sn+2=

1-qn+2

1-q

，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

．
當(dāng)|q|＜1時(shí)，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=1；
當(dāng)q=-1時(shí)，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -1

=1；
當(dāng)|q|＞1時(shí)，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

=

1

q2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列極限的求法，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．