Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+1）+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$，則曲線在點(diǎn)（x，y）處切線的傾斜角的范圍是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由基本不等式可得切線的斜率的范圍，由直線的斜率公式，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和直線的傾斜角的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ln（2x+1）+$\frac{{x}^{2}+x}{8}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1），
由2x+1＞0，可得$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{8}$（2x+1）≥2$\sqrt{\frac{2}{2x+1}•\frac{2x+1}{8}}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=4，即x=$\frac{3}{2}$時(shí)，取得最小值1．
即有曲線在點(diǎn)（x，y）處切線的斜率k≥1，
即有tanα≥1（α為傾斜角），
則有$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．
故答案為：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查直線的傾斜角的范圍，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．