Question

3．設函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$，其中向量$\overrightarrow m$=（2cosx，1），$\overrightarrow n$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）單調遞減區(qū)間和圖象的對稱軸；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，求$\frac{b+c}{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量數(shù)量積的運算化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由正弦函數(shù)的性質即可求得單調遞減區(qū)間和圖象的對稱軸；
（2）由f（A）=2結合A的范圍可求A的值，化簡可得$\frac{b+c}{a}$=2sin（B+$\frac{π}{6}$），結合范圍即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$…（3分）
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ\(zhòng);，\;k∈Z$，
解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ\(zhòng);，\;k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是$[\frac{π}{6}+kπ\(zhòng);，\;\frac{2π}{3}+kπ]\;，\;k∈Z$…（5分）
∴函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$…（6分）
（2）由f（A）=2，得$2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=2$，即$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
在△ABC中，∵0＜A＜π，∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，得$A=\frac{π}{3}$，…（8分）
$\begin{array}{l}∴\frac{b+c}{a}=\frac{sinB+sinC}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（sinB+sinC）\\=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}[sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）]=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB）\\=2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）=2sin（B+\frac{π}{6}）\end{array}$
$\begin{array}{l}∵A=\frac{π}{3}∴0＜B＜\frac{2π}{3}∴\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}\\∴\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1\end{array}$，
∴$\frac{b+c}{a}∈（1，2]$…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．