Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）在（1）的條件下，證明{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，并求a_n；
（3）在（1）的條件下，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+1=4a_n+2，a₁=1，當(dāng)n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=S_n+1-S_n，變形為a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可證明；
（2）由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3×2^n-1，變形為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），化為a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₂-2a₁=3，公比為2；
（2）證明：由（1）可得：b_n=a_n+1-2a_n=3×2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
∴{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{3}{4}$．
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}（n-1）$=$\frac{3n-1}{4}$，
∴a_n=（3n-1）×2^n-2．
（3）解：S_n=$2×\frac{1}{2}$+5×1+8×2+11×2²+…+（3n-1）×2^n-2，
∴2S_n=2+5×2+8×2²+…+（3n-4）×2^n-2+（3n-1）×2^n-1．
∴-S_n=1+3+3×2+3×2²+…+3×2^n-2-（3n-1）×2^n-1
=1+3×$\frac{{2}^{n-1}-1}{2-1}$-（3n-1）×2^n-1=（4-3n）×2^n-1-2，
∴S_n=（3n-4）×2^n-1+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．