Question

規(guī)定C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C

0 x

=1這是組合數(shù)C

m n

（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）C

5 -15

的值；
（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：C

m n

=C

n-m n

；C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

是否都能推廣到C

m x

（x∈R，m∈N^*）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給予證明，或不能則說明理由；
（3）已知組合數(shù)C

m n

是正整數(shù)，證明：當(dāng)x∈Z，m是正整數(shù)時(shí)，C

m x

∈Z．

Answer 1

考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：排列組合

分析：（1）根據(jù)所給的組合數(shù)公式，寫出C_-15⁵的值，這里與平常所做的題目不同的是組合數(shù)的下標(biāo)是一個(gè)負(fù)數(shù)，在本題的新定義下，按照一般組合數(shù)的公式來用．
（2）C_n^m=C_n^n-m不能推廣到C_x^m的情形，舉出兩個(gè)反例，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推廣到C_x^m的情形，可以利用組合數(shù)的公式來證明，證明的方法同沒有推廣之情況相同．
（3）分x≥m，和x＜0，根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算即可．

解答： 解：（1）：（1）C_-15⁵=

-15×(-16)×(-17)×(-18)×(-19)

5!

=-11628；
（2）性質(zhì)：C_n^m=C_n^n-m不能推廣到C_x^m的情形不能推廣，例如x=

2

時(shí)，

C

1 2

有定義，但

C

2 -1 2

無意義；
性質(zhì)：C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m能推廣到C_x^m的情形，它的推廣形式為

C

m x

+

C

m-1 x

=

C

m x+1

，x∈R，m∈N*，
證明如下：
當(dāng)m=1時(shí)，有

C

1 x

+

C

10 x

=x+1

=C

1 x+1

；
當(dāng)m≥2時(shí)，有

C

m x

+

C

m-1 x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

+

x(x-1)…(x-m+2)

m!

=

x(x-1)(x-m+2)

(m-1)!

（

x-m+1

m

+1）=

x(x-1)…(x-m+2)(x+1)

m!

=

C

m x+1

（3）當(dāng)x≥m時(shí)，組合數(shù)

C

m x

∈Z；
當(dāng)x＜m時(shí)，-x+m-1＞0，
∴

C

m x

=

x(x-1)…(x-m+1)

m!

=（-1）^m•

(-x+m-1)…(-x+1)(-x)

m!

=（-1）^m

C

m -x+m-1

∈Z．

點(diǎn)評：本題考查組合數(shù)公式，不是在一般的情況下應(yīng)用組合數(shù)公式，而是對于組合數(shù)公式推廣使用，是一個(gè)中檔題，題目解起來容易出錯(cuò)．這種題目對于學(xué)生幫助不大．