Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a）e^x．
（I）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）已知x₁，x₂是f（x）的兩個不同的極值點，且|x₁+x₂|≥|x₁x₂|，若恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a=3代入解析式，然后對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0 解出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，在令導(dǎo)數(shù)小于0解出的為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）由題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)令導(dǎo)函數(shù)為0，再有，得到關(guān)于a的函數(shù)式子g（a），判斷該函數(shù)的極值與最值即可．
解答：解：（1）∵a=3，∴f（x）=（x²-3）e^x，f'（x）=（x²+2x-3）e^x=0⇒x=-3或1
令f'（x）＞0，解得x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）令f'（x）＜0，解得x∈（-3，1），∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-3），（1，+∞）；減區(qū)間為（-3，1），
（2）f'（x）=（x²+2x-a）e^x=0，即x²+2x-a=0
由題意兩根為x₁，x₂，∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-a，又∵|x₁+x₂|≥|x₁x₂|∴-2≤a≤2
且△=4+4a＞0，∴-1＜a≤2
設(shè)或a=0

a	（-1，0）					2
g'（a）	+		-		+
g（a）	↗	極大值	↘	極小值	↗	g（2）

又g（0）=0，g（2）=6e²-8，
∴g（a）_max=6e²-8，
∴b＞6e²-8
點評：此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值及學(xué)生的計算能力．轉(zhuǎn)化思想．