Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)a=2，對(duì)于任意的x∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）中通過(guò)求導(dǎo)討論a的取值范圍確定單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）中先求出g（x）的表達(dá)式，再通過(guò)求導(dǎo)得出不等式組，從而確定m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x＞0}，
又∵f′（x）=1-

a

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
令f（x）＞0，解得：x＞a，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
令f（x）＜0，解得：0＜x＜a，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
綜上所述：
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x-2lnx-1，
∴f′（x）=1-

2

x

，
∴g（x）=x³+（1+

m

2

）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（2-m）x-2，
又g′（0）=-2，g（x）在（2，3）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴

g(2)＜0 g(3)＞0

即：

3m+31＞0 2m+14＜0

，
解得：-

31

3

＜m＜-7．
∴實(shí)數(shù)m的范圍是：（-

31

3

，-7）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了求導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．