Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx-1．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）設a=2，對于任意的x∈[1，2]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區(qū)間（2，3）上不是單調函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）中通過求導討論a的取值范圍確定單調區(qū)間，（Ⅱ）中先求出g（x）的表達式，再通過求導得出不等式組，從而確定m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）的定義域為：{x|x＞0}，
又∵f′（x）=1-

a

x

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，
令f（x）＞0，解得：x＞a，f（x）在（a，+∞）上單調遞增，
令f（x）＜0，解得：0＜x＜a，f（x）在（0，a）上單調遞減；
綜上所述：
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞0時，f（x）在（a，+∞）上單調遞增，在（0，a）上單調遞減．
（Ⅱ）當a=2時，f（x）=x-2lnx-1，
∴f′（x）=1-

2

x

，
∴g（x）=x³+（1+

m

2

）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（2-m）x-2，
又g′（0）=-2，g（x）在（2，3）上不是單調函數(shù)，
∴

g(2)＜0 g(3)＞0

即：

3m+31＞0 2m+14＜0

，
解得：-

31

3

＜m＜-7．
∴實數(shù)m的范圍是：（-

31

3

，-7）．

點評：本題考察了求導函數(shù)，討論函數(shù)的單調區(qū)間，導函數(shù)的應用，是一道綜合題．