Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）若點M、N分別是邊A₁B₁、BC的中點，求證：MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）證明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若AB=CB=2，A₁C=

6

，求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）取AC中點D，連結DA₁，DN，由已知條件推導出四邊形A₁MND為平行四邊形，由此能證明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）取AB中點E，連結EC，EA，由已知條件推導出EC⊥AB，A₁E⊥AB，由此能證明AB⊥平面A₁EC，從而得到AB⊥A₁C．
（Ⅲ）以E為原點，EA為x軸，以EA₁為y軸，以EC為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC-A₁的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取AC中點D，連結DA₁，DN，
∵N為BC有中點，∴在△ABC中，ND

∥

.

1

2

AB，
又∵M為A₁B₁中點，A₁B₁∥AB，
∴A₁M

∥

.

1

2

AB，∴ND

∥

.

A₁M，
∴四邊形A₁MND為平行四邊形，∴MN∥A₁D，
又∵MN不包含于平面ACC₁A₁，AD₁?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）證明：取AB中點E，連結EC，EA，
在△ABC中，CA=CB，∴EC⊥AB，
又在△AA₁B中，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
∴△AA₁B為正三角形，∴A₁E⊥AB，
又A₁E∩EC=E，
∴AB⊥平面A₁EC，
∵A₁C?平面A₁EC，∴AB⊥A₁C．
（Ⅲ）解：∵CA=CB，AB=CB=2，
∴△ABC為邊長為2的正三角形，且CE=

3

，∴A1E=

3

，
又A1C=

6

，∴A1E2+CE2=6=A1C2，
∴EC⊥EA₁，又EC⊥AB，EA₁∩AB=E，
∴以E為原點，EA為x軸，以EA₁為y軸，以EC為z軸，建立空間直角坐標系，
∴A（1，0，0），A₁（0，

3

，0），C（0，0，

3

），
∴

AC

=（-1，0，

3

），

AA1

=（-1，

3

，0），

EA1

=（0，

3

，0），
∵EA₁⊥平面ABC，∴

EA1

=（0，

3

，0）是平面ABC的法向量，
設平面AA₁C的法向量為

n

=（x，y，z），
則有

n • AC =-x+ 3 z=0 n • AA1 =-x+ 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，1，1)，
∴cos＜

n

，

EA1

＞=

3

5 • 3

=

5

5

，
∴二面角B-AC-A₁的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．