Question

20．已知k為常數(shù)，命題p：方程（k-1）x²+（2k-1）y²=（k-1）（2k-1）表示橢圓；命題q：方程（k-3）x²+4y²=4（k-3）表示雙曲線．若命題p為真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的定義建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：方程（k-1）x²+（2-1）y²=（k-1）（2k-1）若表示橢圓，
則等價為$\frac{（k-1）{x}^{2}}{（k-1）（2k-1）}+\frac{（2k-1）{y}^{2}}{（k-1）（2k-1）}=1$，
即$\frac{{x}^{2}}{2k-1}+\frac{{y}^{2}}{k-1}=1$，
若方程表示橢圓，
則等價為$\left\{\begin{array}{l}{2k-1＞0}\\{k-1＞0}\\{2k-1≠k-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞\frac{1}{2}}\\{k＞1}\\{k≠0}\end{array}\right.$，即k＞1．
故若命題p為真命題，求k的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查命題真假的應(yīng)用，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及定義是解決本題的關(guān)鍵．