Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²-m²x+1（m為常數(shù)，且m＞0），當(dāng)x=-2時(shí)有極大值．
（1）求m的值，及其函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）過點(diǎn)（-1，f（-1））的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出m的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）求出f（-1），f′（-1）的值，從而求出曲線的切線方程．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2mx-m²；
∴f′（-2）=12-4m-m²=0，解得：m=2，或-6（舍去）；
∴f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞

2

3

，或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜

2

3

，
∴f（x）在（-∞，-2）和（

2

3

，+∞）遞增，在（-2，

2

3

）遞減；
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+1，
∴f（-1）=6，f′（-1）=-5，
∴切線方程為：5x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線方程，是一道中檔題．