Question

已知函數(shù)y=cos2x+sinx+2．
（1）若x∈R，求該函數(shù)的最大值；
（2）若x∈[0，2π），且y＞3，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用二倍角的余弦降冪，轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的關(guān)系式，配方即可求得該函數(shù)的最大值；
（2）由y＞3，可得2sin²x-sinx＜0，繼而可得0＜sinx＜

1

2

，又x∈[0，2π），從而可得x的取值范圍．

解答： 解：（1）y=cos2x+sinx+2=1-2sin²x+sinx+2=-2sin²x+sinx+3=-2(sinx-

1

4

)2+

25

8

，
當(dāng)sinx=

1

4

時，該函數(shù)的最大值為

25

8

；
（2）y＞3，即-2sin²x+sinx+3＞3，2sin²x-sinx＜0，解得0＜sinx＜

1

2

，又x∈[0，2π），
所以x的取值范圍是（0，

π

6

）∪（

5π

6

，2π）．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．