Question

如圖，線段AB長度為2，點(diǎn)A，B分別在x非負(fù)半軸和y非負(fù)半軸上滑動，以線段AB為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD，BC=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是________．

Answer 1

[2，3]
分析：令∠OAD=θ，由邊長為1，2的長方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上，可得出B，C的坐標(biāo)，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內(nèi)積即可．
解答：如圖令∠OAB=θ，由于AB=2故0A=2cosθ，OB=2sinθ，
如圖∠DAX=-θ，BC=1，故x_D=2cosθ+cos（ -θ）=2cosθ+sinθ，
y_D=sin（ -θ）=cosθ
故 =（2cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+2sinθ），即 =（sinθ，cosθ+2sinθ），
∴=（cosθ+2sinθ，cosθ）•（sinθ，2cosθ+sinθ）=2+sin2θ，
∵sin2θ∈[0，1]，∴的最大值是3，最小值是2，
故答案是：[2，3]．
點(diǎn)評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，設(shè)角引入坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，由于向量的運(yùn)算與坐標(biāo)關(guān)系密切，所以在研究此類題時應(yīng)該想到設(shè)角來表示點(diǎn)的坐標(biāo)．