Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=5，a₄=13．數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}中的最大項．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a₁=1，d=4，由此能求出a_n=4n-3；由已知條件推導(dǎo)出{b_n}是首項為

3

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，由此能求出b_n=3•(

1

2

)n，
（2）由c_n=（12n-9）•(

1

2

)n，得

cn+1

cn

=

4n+1

8n-6

，當n=1時，c_n+1＞c_n，當n≥2時，c_n+1＜c_n．由此能求出數(shù)列{c_n}中的最大項．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=5，a₄=13，
∴

a1+d=5 a1+3d=13

，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
∵數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+b_n=3，
∴n=1時，2b₁=3，解得b₁=

3

2

，
n≥2時，T_n+b_n=3，T_n-1+b_n-1=3，
∴2b_n-b_n-1=0，
∴{b_n}是首項為

3

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=

3

2

•（

1

2

）^n-1=3•(

1

2

)n，
（2）∵c_n=a_n•b_n，
∴c_n=（12n-9）•(

1

2

)n，
∴C_n+1=（12n+3）•（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

cn+1

cn

=

4n+1

8n-6

，
令

4n+1

8n-6

≥1，解得n≤

7

4

，
故當n=1時，c_n+1＞c_n，
當n≥2時，c_n+1＜c_n．
∴數(shù)列{c_n}中的最大項為c₂=（24-9）•

1

4

=

15

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列中最大項的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．