Question

已知函數f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a，b；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）試判斷函數在（-∞，0]上的單調性，并證明；
（4）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由已知得

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，由此能求出a=-1，b=0．
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，由此能求出f（x）是偶函數．
（3）函數在（-∞，0]上單調遞減，利用定義法能進行證明．
（4）由2^x＞0，2^-x＞0，利用均值不等式能求出函數f（x）取最小值2．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
∴

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，
即

a+b=-1 2a+b=-2

，
解得a=-1，b=0．
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，
∴f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）是偶函數．
（3）函數在（-∞，0]上單調遞減，證明如下：
在（-∞，0]上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2-2-x2）
=(2x1-2x2)+(

1

2x1

-

1

2x2

)
=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x12x2

=(2x1-2x2)(1-

1

2x12x2

)，
∵-∞＜x₁＜x₂≤0，
∴2x1-2x2＜0，1-

1

2x12x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數在（-∞，0]上單調遞減．
（4）∵2^x＞0，2^-x＞0，
∴f（x）=2^x+2^-x≥2

2x•2-x

=2，
當且僅當2^x=2^-x，即x=0時，
函數f（x）取最小值2．

點評：本題考查實數值的求法，考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查函數的最小值的求法，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．