已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且對任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k為常數(shù)).
(I)當(dāng)k=2時,求a2,a3的值;
(II)試判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列?請說明理由.
分析:(I)在遞推關(guān)系中,令n取1,2,利用和的定義將和用項表示,求出項.
(II)利用數(shù)列和的定義,通過仿寫作差將和與項的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項與項間的遞推關(guān)系,利用等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列an的情況
解答:解:(I)當(dāng)k=2時,an+1=2Sn+1.
令n=1得a2=2S1+1,又a1=S1=1,得a2=3;
令n=2得a3=2S2+1=2(a1+a2)+1=9,∴a3=9.
∴a2=3,a3=9.
(II)由an+1=kSn+1,得an=kSn-1+1,
兩式相減,得an+1-an=(kSn+1)-(kSn-1+1)=k(Sn-Sn-1)=kan(n≥2),
即an+1=(k+1)an(n≥2),
a2
a1
=
k+1
1
=k+1
,故an+1=(k+1)an
k=-1時,an=
1,(n=1)
0.(n≥2)
此時,{an}不是等比數(shù)列;
當(dāng)k=-1時,{an}不是等比數(shù)列;
當(dāng)k≠-1時,{an}是等比數(shù)列
點評:本題考查數(shù)列是特殊的函數(shù),求特殊項就是求函數(shù)值,將n用特殊值代替;利用仿寫作差將項與和的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為項與項的遞推關(guān)系.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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