Question

（2012•漳州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，圓x²+y²=R²（R＞0）上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若劣弧AB的長為L，則

L

R

等于

OA

， 

OB

夾角的弧度數(shù)，從而cos

L

R

=

x1x2+y1y2

R2

．在空間直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為球心，半徑為R的球面上兩點(diǎn)A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），若A、B兩點(diǎn)間的球面距離為L，則cos

L

R

等于

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．

Answer 1

分析：用平面中圖形中圓的弧長的性質(zhì)類比球面上兩點(diǎn)間的球面距離的性質(zhì)，用平面上兩個(gè)向量的數(shù)量積類比空間中兩個(gè)向量的數(shù)量積，從而得出結(jié)論．

解答：解：由于在圓x²+y²=R²（R＞0）上兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若劣弧AB的長為L，則

L

R

等于

OA

， 

OB

夾角的弧度數(shù)，cos

L

R

=

x1x2+y1y2

R2

．
類比可得，在空間直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為球心，半徑為R的球面上兩點(diǎn)A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），若A、B兩點(diǎn)間的球面距離為L，
則cos

L

R

等于

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．
故答案為

x1x2+y1y2+z1z2

R2

．

點(diǎn)評：本題主要考查類比推理，用平面中圖形的線的性質(zhì)類比立體圖形中的面的性質(zhì)，用平面上的圓的性質(zhì)類比立體圖形中的球的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．