Question

12．已知函數(shù)f（x）=Asin（$\frac{π}{3}x$+φ），（A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）的部分圖象如圖所示，P，Q分別為該圖象上相鄰的最高點和最低點，點P在x軸上的射影為R（1，0），cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$．
（1）求A，φ的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求A，φ的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱性進行求解即可．

解答 解：（1）∵點P在x軸上的射影為R（1，0），
∴P（1，A）在函數(shù)f（x）的圖象上，
則Asin（$\frac{π}{3}$+φ）=A，即sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜φ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，∴φ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$，
設(shè)Q（a，-A），則$\frac{π}{3}$a+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，解得a=4，即Q（4，-A），
∵cos∠PRQ=-$\frac{4}{5}$．
∴sin∠xRQ=$\frac{4}{5}$．
tan∠xRQ=$\frac{4}{3}$．
即tan∠xRQ=$\frac{A}{4-1}$=$\frac{4}{3}$．
解得A=4；
即A=4，φ=$\frac{π}{6}$．
（2）∵A=4，φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=4sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得6k-2≤x≤6k+1，k∈Z，
即函數(shù)的遞增區(qū)間為[6k-2，6k+1]，k∈Z，
由$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=3k-$\frac{1}{2}$，
即函數(shù)的對稱中心為（3k-$\frac{1}{2}$，0），k∈Z．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)單調(diào)性，對稱性的求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．