Question

2．若存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立等價于存在x∈[1，3]，使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立，構(gòu)造函數(shù)設(shè)f（x）=-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，3]，求出函數(shù)f（x）的最小值即可．

解答 解：存在x∈[1，3]，使得lnx+ax≥0成立，
等價于存在x∈[1，3]，使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立，
設(shè)f（x）=-$\frac{lnx}{x}$，x∈[1，3]，
∴a≥f（x）_min，
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=e，
當f′（x）＞0，解得e＜x≤3，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＞0，解得1≤x＜e，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當x=e時，函數(shù)有最小值，f（e）=-$\frac{1}{e}$，
所以a≥-$\frac{1}{e}$，
故答案為：[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及存在性問題，培養(yǎng)了化歸思想想，屬于中檔題．