Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，設(shè)a≤-2，求不等式f（x）≤a+5-4x的解集．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將問題轉(zhuǎn)化為求（a+1）lnx+ax²+4x-a-4≤0的解集，令g（x）=（a+1）lnx+ax²+4x-a-4，通過求導(dǎo)得g（x）在（0，+∞）遞減，而g（1）=0，進而求出不等式的解集．

解答： 解：∵f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴（a+1）lnx+ax²+1≤a+5-4x，
∴（a+1）lnx+ax²+4x-a-4≤0，
令g（x）=（a+1）lnx+ax²+4x-a-4，
g′（x）=

a+1

x

+2ax+4
=

2ax2+4x+(a+1)

x

=

2a(x+ 1 a )2+ (a+2)(a-1) a

x

，
∵a≤-2，∴2a(x+

1

a

)2＜0，

(a+2)(a-1)

a

＜0
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x=1時，g（1）=0，
∴x≥1時，g（x）≤0，
∴等式f（x）≤a+5-4x的解集是：{x|x≥1}．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．