Question

18．若方程${（\frac{1}{4}）^x}+{（\frac{1}{2}）^{x-1}}$-a=0有正數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a＜1
• B． -3＜a＜0
• C． 0＜a＜3
• D． -1＜a＜0

Answer 1

分析 為便于處理，不妨設(shè)t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，于是可轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的方程t²+2t-a=0的根的問題，明顯地，原方程有正實數(shù)解，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程在（0，1）上有解的問題．于是問題迎刃而解．

解答 解：設(shè)t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，則有：a=t²+2t=（t+1）²-1．
原方程有正數(shù)解x＞0，則0＜t＜1，
即關(guān)于t的方程t²+2t-a=0在（0，1）上有實根．
又因為a=（t+1）²-1．
所以當(dāng)0＜t＜1時有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即0＜（t+1）²-1＜3，
即得0＜a＜3．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)最值的求法，二次方程根的分布問題，以及對含參數(shù)的函數(shù)、方程的問題的考查，亦對轉(zhuǎn)化思想，換元法在解題中的應(yīng)用進行了考查．