Question

8．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{e}^{x}-1（x≥0）}\\{x-{e}^{-x}+1（x＜0）}\end{array}\right.$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）是否存在不同的實數(shù)a，b，使得當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）的值域為[a，b+3]，若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性建立方程組關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）若x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x-e^x+1=-（x+e^x-1）=-f（x），
若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x+e^-x-1=-（x-e^x+1）=-f（x），
f（0）=0，
綜上f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=x+e^x-1為增函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴在（-∞，+∞）上f（x）為增函數(shù)，
若存在不同的實數(shù)a，b，使得當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）的值域為[a，b+3]，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b+3}\end{array}\right.$，
①若a≥0，則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a+{e}^{a}-1=a}\\{b+{e}^-1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a}=1}\\{{e}^=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=ln4}\end{array}\right.$，滿足條件．
②若b＜0，則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a-{e}^{-a}+1=a}\\{f（b）=b-{e}^{-b}+1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-a}=1}\\{{e}^{-b}=-2}\end{array}\right.$此時方程組無解，
③若a＜0，b≥0，則$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a-{e}^{-a}+1=a}\\{f（b）=b+{e}^-1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-a}=1}\\{{e}^=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=ln2}\end{array}\right.$此時a=0不成立，
綜上存在a=0，b=ln4，使得當(dāng)x∈[a，b]時，函數(shù)f（x）的值域為[a，b+3]．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，注意利用分類討論的數(shù)學(xué)思想．