Question

16．已知圓O：x²+y²=4，直線l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0．
（1）直線l恒過定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值．
（2）當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，判斷直線l與圓O是否相交？若相交，求相交弦的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）直線l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0可化為m（x-1）+y-$\sqrt{3}$=0，可得定點(diǎn)P的坐標(biāo)及原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值．
（2）當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，原點(diǎn)到直線$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$＜2，直線l與圓O相交，利用勾股定理求相交弦的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）直線l：mx+y-m-$\sqrt{3}$=0可化為m（x-1）+y-$\sqrt{3}$=0，
令x-1=0，可得y-$\sqrt{3}$=0，
∴x=1，y=$\sqrt{3}$，
∴直線l恒過定點(diǎn)P（1，$\sqrt{3}$），原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為|OP|=2；
（2）原點(diǎn)到直線$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0的距離d=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$＜2，∴直線與圓相交，
弦長(zhǎng)2$\sqrt{4-3}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過定點(diǎn)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．