Question

如圖，直線(xiàn)l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，C在平面α內(nèi)，B是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，
（1）線(xiàn)段BC、AD兩中點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度是

 

（2）當(dāng)O到AD的距離為最大時(shí)，正四面體在平面α上的射影面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行投影及平行投影作圖法

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用勾股定理，即可求出線(xiàn)段BC、AD兩中點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度；
（2）確定直線(xiàn)BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系，得到最大距離為AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，
∴線(xiàn)段BC、AD兩中點(diǎn)連線(xiàn)的長(zhǎng)度是

(2 3 )2-4

=2

2

；   
（2）由題意，直線(xiàn)BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，所以O(shè)到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線(xiàn)）+半徑=2

2

+2．
再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD為底，O到AD 的距離投影，即（2

2

+2）cos45°=2+

2

為高的等腰三角形，其面積=

1

2

×4×（2+

2

）=4+2

2

．
故答案為：2

2

，4+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．