Question

是否存在同時滿足下列兩條件的直線l：（1）l與拋物線y²=8x有兩個不同的交點A和B；（2）線段AB被直線l₁：x+5y-5=0垂直平分．若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：假設存在，設出點的坐標，聯(lián)立方程可表示出AB的斜率，根據(jù)已知條件確定直線AB的斜率，進而求得y₁+y₂的值，則AB的中點的縱坐標可求，帶入直線求得x，進而求得直線AB的方程．

解答： 解：假定在拋物線y²=8x上存在這樣的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則有：

y 2 1 =8x1 y 2 2 =8x2

⇒(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2)⇒kAB=

(y1-y2)

(x1-x2)

=

8

(y1+y2)

∵線段AB被直線l₁：x+5y-5=0垂直平分，且kl1=-

1

5

，
∴k_AB=5，即

8

(y1+y2)

=5⇒y1+y2=

8

5

．
設線段AB的中點為M(x0，y0)，則y0=

y1+y2

2

=

4

5

．
代入x+5y-5=0得x=1．
∴AB中點為M(1，

4

5

)．故存在符合題設條件的直線，其方程為：y-

4

5

=5(x-1)，即：25x-5y-21=0．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的關系綜合問題．解題過程巧妙運用了錯差法把拋物線與直線的斜率問題聯(lián)系，找到了解決問題的突破口．