Question

20．等差數(shù)列{a_n}的公差為2，且a₁，a₇，a₃₇依次構(gòu)成等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用（a₁+12）²=a₁（a₁+72）計(jì)算可知首項(xiàng)a₁=3，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為2，
∴a₇=a₁+12，a₃₇=a₁+72，
又∵a₁，a₇，a₃₇依次構(gòu)成等比數(shù)列，
∴（a₁+12）²=a₁（a₁+72），
解得a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2）；
（Ⅱ）∵S_n=n（n+2），
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}$-$\frac{1}{2（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．