Question

9．已知不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$對(duì)一切x＞0，y＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到結(jié)論．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$等價(jià)為a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
設(shè)m=$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$，則m＞0，
平方得m²=（$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$）²=$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}$=1+$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}$≤1+$\frac{2\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}$=1+1=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，
∴m²≤2，則0≤m≤$\sqrt{2}$
∴要使a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
則a≥$\sqrt{2}$，
故答案為：[$\sqrt{2}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，利用參數(shù)分離法以及基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．