Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n=S_n-1+n，a₁=0，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：在數(shù)列遞推式中取n=n+1得到另一遞推式，作差后得到新的等比數(shù)列{a_n+1}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答： 解：由a_n=S_n-1+n（n≥2），得：
a_n+1=S_n+n+1，
兩式作差得：a_n+1-a_n=a_n+1，
即a_n+1=2a_n+1，
a_n=2a_n-1+1．
則a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2）．
又a₁+1=0+1=1≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴an+1=1×2n-1，
an=2n-1-1（n≥2）．
驗(yàn)證a₁=0適合上式．
∴an=2n-1-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．