【題目】已知，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，且在時有極大值點，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）對求導，分，，，進行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將代入，對求導，可得，再對求導，可得函數(shù)有唯一極大值點，且.

可得,設(shè)，對其求導后可得.

解：（1），

又，，時，，所以可解得：函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

經(jīng)計算可得，時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時，函數(shù)在單調(diào)遞減.

綜上：時，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

（2）若，則，

，

設(shè)，則，

當時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，

當時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.

又因為由可知：，

而，且，

，使得，且時，單調(diào)遞增，

時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有唯一極大值點，

且.

.

所以,

設(shè)（），則，

在單調(diào)遞增，，，又因為，

.

練習冊系列答案
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