Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），（x、y∈R），f（1）=-1．
（1）求f（0）和f（-2）的值；
（2）若f（5）=m，試用m表示f（-5）；
（3）試判斷f（x）的奇偶性（要寫出推理過程）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=1，y=0時(shí)，∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
∴f（1）=f（1）+f（0）+0，
∴f（0）=0．
當(dāng)x=1，y=-1時(shí)，f（0）=f（1）+f（-1）+0，∴f（-1）=1．
當(dāng)x=-1，y=-1時(shí)，f（-2）=f（-1）+f（-1）-4=-2．
即f（-2）=-2．
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0
函數(shù)是奇函數(shù)，
∵f（5）=m，
∴f（-5）=-f（5）=-m．
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），
令y=-x，所以f（x-x）=f（x）+f（-x）+2xy（x-x），
所以f（x）+f（-x）=0．
即f（-x）=-f（x）
函數(shù)是奇函數(shù)，
分析：（1）通過x=1，y=0，求出f（0）=0．通過x=1，y=-1時(shí)，求出f（-1）=1．然后利用x=-1，y=-1時(shí)，求出f（-2）=-2．
（2）由f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），判斷函數(shù)的奇偶性，通過f（5），求出f（-5）；
（3）直接利用已知表達(dá)式，通過y=-x，即可判斷函數(shù)的奇偶性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽函象數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x+y），（x、y∈R）的靈活運(yùn)用．