Question

如圖所示的幾何體，四邊形ABCD中，有AB∥CD，∠BAC=30°，AB=2CD=2，CB=1．點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影是點(diǎn)C，EF∥AC，且AC=2EF．
（1）求證：平面BCE⊥平面ACEF；
（2）若二面角D-AF-C的平面角為60°，求CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件利用余弦定理求出AC=

3

，由勾股定理得到BC⊥AC，由EC⊥平面ABCD，得到BC⊥EC，由此能夠證明平面BCE⊥平面ACEF．
（2）以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角D-AF-C的平面角為60°，利用向量法能求出CE的長．

解答： （1）證明：在△ABC中，∵∠BAC=30°，AB=2CD=2，CB=1，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos30°，
解得AC=

3

，∴AB²=AC²+BC²，
由勾股定理知∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵EC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥EC，
∵AC∩EC=C，∴BC⊥平面ACEF，
又BC?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ACEF．
（2）解：∵EC⊥平面ABCD，由（1）知BC⊥AC，
∴以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)CE=h，則C（0，0，0），A（

3

，0，0），
F（

3

2

，0，h），D（

3

2

，-

1

2

，0），

AD

=（-

3

2

，-

1

2

，0），

AF

=（-

3

2

，0，h），
設(shè)平面DAF的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AD =- 3 2 x- 1 2 y=0 n • AF =- 3 2 x+hz=0

，
令x=

3

，得

n

=（

3

，-3，

3

2h

），
又平面AFC的法向量

m

=（0，1，0），
∵二面角D-AF-C的平面角為60°，
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

-3

3+9+( 3 2h )2

|=cos60°=

1

2

，解得h=

6

8

，
∴CE的長為

6

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查CE的長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．