Question

已知

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），f（x）=

a

•

b

-

1

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=

3

，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應用

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）先求出C，根據(jù)sinB=2sinA，由正弦定理，得

a

b

=

1

2

，由余弦定理，得a²+b²-ab=3，即可求a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，-cosx），
∴f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值是-2，最小正周期是T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1，則sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，
∴0＜2C＜2π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
∴C=

π

3

，
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理，得

a

b

=

1

2

，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=3，
解得a=1，b=2．

點評：本題考查余弦定理的應用，利用向量的數(shù)量積公式，二倍角、輔助角公式化簡函數(shù)是解題的關(guān)鍵．