Question

【題目】函數(shù)f（x）=lnx+ +ax（a∈R），g（x）=ex+ ．
（1）討論f（x）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)于x＞0，總有f（x）≤g（x）．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：對(duì)于x＞0，不等式ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f'（x）=x+ +a= ，

當(dāng)a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2時(shí)，f'（x）≥0恒成立，無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2時(shí)，

①a＜﹣2時(shí)，設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1，x2，不妨設(shè)x1＜x1，x2，

則x1+x2=﹣a＞0，x1x2=1＞0，故0＜x1＜x2，

∴x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．

②a＞2時(shí)，設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1，x2，

則x1+x2=﹣a＜0，x1x2=1＞0，故x1＜0，x2＜0，

故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)．

綜上，當(dāng)a＜﹣2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)a≥﹣2時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)

（2）解：（i）f（x）≤g（x）等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax，

由x＞0，即a≤ 對(duì)于x＞0恒成立，

設(shè)φ（x）= （x＞0），

φ′（x）= ，

∵x＞0，∴x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，

x∈（1，+∞）時(shí)，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，

∴φ（x）≥φ（1）=e+1，

∴a≤e+1．

（ii）（ ii）由（ i）知，當(dāng)a=e+1時(shí)有f（x）≤g（x），

即：ex+ x2≥lnx+ x2+（e+1）x，

等價(jià)于ex+x2﹣（e+1）x≥lnx…①當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

以下證明：lnx+ ≥2，

設(shè)θ（x）=lnx+ ，則θ′（x）= ﹣ = ，

∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)θ'（x）＜0，θ（x）單調(diào)遞減，

x∈（e，+∞）時(shí)θ'（x）＞0，θ（x）單調(diào)遞增，

∴θ（x）≥θ（e）=2，

∴l(xiāng)nx+ ≥2，②當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào)；

由于①②等號(hào)不同時(shí)成立，故有ex+x2﹣（e+1）x+ ＞2

【解析】（1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)x＞0求出f'（x）的值域，討論a的值得出f′（x）的正負(fù)情況，判斷f（x）的單調(diào)性和極值點(diǎn)問(wèn)題；（2）（i）f（x）≤g（x）等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax，由x＞0，利用分離常數(shù)法求出a的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求最值即可；（ii）由（ i）結(jié)論，a=e+1時(shí)有f（x）≤g（x），得出不等式，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．