Question

已知一非零向量列{a_n}滿足：a₁=（1，2），
（1）證明：{|a_n|}是等比數(shù)列；
（2）求向量a_n-1與a_n的夾角θ（n≥2）；
（3）把向量a₁，a₂，…，a_n…中所有與a₁共線的向量按原來的前后順序排成一列，記為b₁，b₂，…，b_n，…，其中b₁=a₁，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求S_n

Answer 1

【答案】分析：（1）用等比數(shù)列的定義證明：先求，通過符合等比數(shù)列的定義可證，但要注意明確首項(xiàng)和公比．
（2）根據(jù)向量的夾角公式來求，先求數(shù)量積，再分別求模，代入公式求解．
（3）由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥奇數(shù)項(xiàng)共線，則b_n=a_2n-1．由，得，從而有再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解．
解答：解：（1）證明：，
∴
又，∴{|a_n|}是首項(xiàng)為．公比為的等比數(shù)列．（4分）
（2）∵，∴a_n-1與a_n的夾角θ=90°（6分）
（3）∴由（2）知，a₁∥a₃∥a₅∥．即b_n=a_2n-1．
由，得．
∴，
∴，∴，
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，涉及到數(shù)列的判斷與證明，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．