Question

3．關(guān)于函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，給出下列四個(gè)命題：
①該函數(shù)沒有大于0的零點(diǎn)；
②該函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；
③該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
④若x₀是函數(shù)的零點(diǎn)，則x₀＜2．
其中所有正確命題的序號(hào)是②③④．

Answer 1

分析 如圖所示，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、圖象的性質(zhì)即可判斷出．

解答 解：①函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，如圖所示，∵f（2）=$\frac{9}{4}-sin2-1$＞0，f（1）=$\frac{1}{2}$-sin1＜0，
∴$f（\frac{3}{2}）f（1）$＜0，因此函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，故①不正確；
②由圖象可知：x＜0時(shí)，函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，正確；
③當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）=$（\frac{3}{2}）^{x}ln\frac{3}{2}$-cosx＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，因此x＞2，時(shí)，不存在零點(diǎn)．
故該函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
④若x₀是函數(shù)的零點(diǎn)，由③可知：x₀＜2，正確．
其中所有正確命題的序號(hào)是：②③④．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)存在判定定理、圖象的性質(zhì)、簡易邏輯的判定，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．