(2007•崇明縣一模)已知如圖,直線l:x=-
p
2
(p>0),點(diǎn)F(
p
2
,0)
,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)當(dāng)p=2時(shí),曲線C上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,求實(shí)數(shù)k滿足的條件(寫出關(guān)系式即可);
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M (a,0),過M且斜率為1的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中垂線與x軸交于點(diǎn)N,當(dāng)|AB|≤2p時(shí),求△NAB面積的最大值.
分析:(1)先設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo),得到點(diǎn)Q坐標(biāo),再代入
QP
QF
=
FP
FQ
整理即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)先假設(shè)存在,設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)以及直線AB所在直線方程為x+ky+n=0,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,再結(jié)合AB中點(diǎn)M在直線y=kx+3上即可得到實(shí)數(shù)k滿足的條件.
(3)先聯(lián)立直線方程與拋物線方程,得到點(diǎn)A,B的坐標(biāo)與a的關(guān)系并表示出線段AB的長,結(jié)合|AB|≤2p,求出a的范圍;再求出線段AB的中垂線得到點(diǎn)N的坐標(biāo),寫出△NAB面積的表達(dá)式,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為P(x,y),則點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q(-
p
2
,y)

QP
=(x+
p
2
,0),
QF
=(p,-y),
FP
=(x-
p
2
,y),
FQ
=(-p,y)
(2分)
QP
QF
=
FP
FQ
.得:y2=2px(p>0)(4分)
(2)p=2時(shí),y2=4x.
設(shè)曲線C上關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),
則直線AB所在直線方程為x+ky+n=0,(n為常數(shù)).
代入y2=4x得y2+4ky+4n=0
△=(4k)2-16n>0即k2-n>0(3分)
又∵AB中點(diǎn)M在直線y=kx+3上,
則(2k2-n,-2k)代入y=kx+3得-2k=2k3-nk+3(5分)
k2-n>0
-2k=2k3-nk+3

k2+
3
k
+2<0
.                                                     (6分)
(3)聯(lián)立
y=x-a
y2=2px
⇒y2-2px-2pa=0,
∵△=4p2+8pa>0⇒a>-
p
2
(1分)
|AB|=
2
|x1-x2|=
2
|y1-y2|=
2
(2p)2+8pa
≤2p

a≤-
p
4

-
p
2
<a≤-
p
4
.                                       (2分)
AB中垂線y-p=-(x-a-p),即y=-x+a+2p
令y=0,x=a+2p
h=
|2p|
2
=
2
p
(3分)
S=
2p
2
(2p)2+8pa
×
1
2
=P
4p2+8pa
(4分)
(-
p
2
單調(diào)遞增                                   (5分)
當(dāng)a=-
p
4
時(shí),Smax=
2
p2
.                             (6分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及弦長公式的應(yīng)用.解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí),常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,再結(jié)合韋達(dá)定理,判別式等得結(jié)論.
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(2007•崇明縣一模)方程sin(x+
π
6
)=
3
cos(x+
π
6
)
的解集為
{x|x=kπ+
π
6
,k∈Z}
{x|x=kπ+
π
6
,k∈Z}

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(2007•崇明縣一模)不等式
(x+2)2(x-2)(x-1)
<0的解集是
(1,2)
(1,2)

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(2007•崇明縣一模)設(shè)|
a
|
=3,|
b
| =2
,且向量
a
b
的夾角為60°,
c
=
a
+
b
d
=
a
-k
b
,若
c
d
,則k=
12
7
12
7

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(2007•崇明縣一模)如果直線y=ax+2上的每一點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)均在直線y=3x-b上,那么ab=
2
2

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(2007•崇明縣一模)已知數(shù)列{an},對(duì)于任意p、q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=
1
9
,則a2008=
2008
9
2008
9

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