Question

5．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式的二項式系數(shù)之和為128，則${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n=7，根據(jù)${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{7}$的展開式的通項公式，求得二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．

解答 解：由${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展開式的二項式系數(shù)之和為2ⁿ=128，∴n=7．
${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{7}$的展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{7}{2}-\frac{5r}{6}}$，
故二項式系數(shù)最大的項為第四項和第五項：T₄=-${C}_{7}^{3}$•x，T₅=${C}_{7}^{4}$•${x}^{\frac{1}{6}}$；
系數(shù)最大的項為第五項T₅=${C}_{7}^{4}$•${x}^{\frac{1}{6}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．