Question

15．如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓O的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點．
（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求證：CD⊥平面SAB；
（3）求PD與平面SAB所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件便知PO∥SA，由線面平行的判定定理即可得出SA∥平面PCD；
（2）SO⊥底面圓O，從而得到SO⊥CD，而AB⊥CD，從而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出CD⊥平面SAB；
（3）由（2）DO⊥平面SAB，從而得到∠DPO為PD和平面SAB所成角，根據(jù)條件即可求出PO=$\sqrt{2}$，OD=2，從而在Rt△POD中便可求出tan∠DPO=$\frac{OD}{OP}$．

解答 解：（1）證明：連接PO；
∵P、O分別為SB、AB的中點，∴PO∥SA；
∵PO?平面PCD，SA?平面PCD；
∴SA∥平面PCD；
（2）證明：∵SO⊥底面圓O；
∴SO⊥CD；
又∵AB⊥CD，AB∩SO=O；
∴CD⊥平面SAB；
（3）∵CD⊥平面SAB；
∴∠DPO為PD與平面SAB所成的角；
∵PO?平面SOB，∴OD⊥PO；
在Rt△DOP中，OD=2，OP=$\frac{1}{2}$SB=$\sqrt{2}$；
∴tan∠DPO=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
∴PD與平面SAB所成的角的正切值$\sqrt{2}$．

點評 考查中位線的性質(zhì)，線面平行、線面垂直的判定定理，線面角的定義及其求法，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，以及線面垂直的性質(zhì)．