Question

7．已知O是△ABC內(nèi)心，若$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，則cos∠BAC=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 過(guò)O作OD∥AC，OE∥AB，因?yàn)镺是內(nèi)心，得到四邊形ADOE是菱形，所以AD=AE=DO，由平行四邊形法則得到$\frac{2}{5}AB=\frac{1}{5}AC$，設(shè)AB=5k，過(guò)O作OF∥BC交AB于F，通過(guò)數(shù)據(jù)線(xiàn)相似得到BF，OF的長(zhǎng)度，在三角形ODF中，利用余弦定理求cos∠DFO．

解答 解：過(guò)O作OD∥AC，OE∥AB，因?yàn)镺是內(nèi)心，所以四邊形ADOE是菱形，
并且$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$$+μ\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
所以$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
又AD=AE，所以$\frac{2}{5}AB=\frac{1}{5}AC$，
設(shè)AB=5k，則AC=10k，OD=2k，
過(guò)O作OF∥BC交AB于F，則∠4=∠5，又∠3=∠4，
所以∠3=∠5，所以BF=OF，
又△ABC∽△DFO，所以BF：AB=DO：AC，則DF=k，
所以BF=AB-AD-DF=5k-2k-k=2k，
所以O(shè)F=2k，
所以cos∠BAC=cos∠FDO=$\frac{D{F}^{2}+O{D}^{2}-O{F}^{2}}{2DF•OD}$=$\frac{{k}^{2}+4{k}^{2}-4{k}^{2}}{2×2k×k}=\frac{1}{4}$；
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行四邊形法則以及利用余弦定理求角；關(guān)鍵是適當(dāng)作出輔助線(xiàn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形．屬于難題．