Question

【題目】已知函數，．

（1）判斷函數的奇偶性，并證明．

（2）若，，求的值．

（3）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數．

（2）．

（3）．

【解析】試題分析：

（1）根據函數奇偶性的判定方法證明即可．（2）當時，，根據題意得到關于x的方程，解方程可得的值，再由題意可得所求．（3）用分離參數的方法求解，轉化為求函數最值的問題，求最值時要先根據定義判斷函數的單調性．

試題解析：

（1）由題意知，的定義域為，定義域關于原點對稱．

又，

∴是上的奇函數．

（2）當時，，

令，即，

整理得，

解得或，

又，

∴，

∴．

（3）由題意知，在上恒成立，

即在上恒成立．

①當時，顯然對于成立．

②當時，在上恒成立，

設，

令，則，

則，，

設，

則，

所以當時，，，函數在上單調遞減；

當時，，，函數在上單調遞增．

故，

故．

綜上可得實數的取值范圍．