Question

已知函數(shù)f（x）=x³=ax²-4x+3（x∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=2時(shí)，f（x）=x³+2x²-4x+3，f′（x）=3x²+4x-4；從而求得f′（1）=3，f（1）=2；從而寫出切線方程．
（2）求導(dǎo)f′（x）=3x²+2ax-4；從而由f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減可得f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；從而可得a≤

2

x

-

3

2

x，令h（x）=

2

x

-

3

2

x，從而化為最值問題．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，f（x）=x³+2x²-4x+3，f′（x）=3x²+4x-4；
故f′（1）=3，f（1）=2；
故所求切線方程為y=3（x-1）+2，
即3x-y-1=0．
（2）∵f（x）=x³=ax²-4x+3，
∴f′（x）=3x²+2ax-4；
∵f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立；
即3x²+2ax-4≤0，
即a≤

2

x

-

3

2

x，令h（x）=

2

x

-

3

2

x，
又由h_min（x）=h（2）=-2；
故a≤-2；
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法應(yīng)用，屬于中檔題．