如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求二面角E-AB-D的大��；
（2）求四面體ABDE的表面積．
（1）在△EBD中，
∵∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=
AB2+AD2-2AB•ADcos∠DAB
=2
3
．
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD．
∵平面EBD⊥平面ABD，∴AB⊥平面BDE，∴AB⊥BE．
∴∠DBE即為二面角E-AB-D的平面角．
又∵CD⊥BD，∴ED⊥BD，而BD=2
3
，
DE=DC=AB=2，
∴在Rt△BDE中，cos∠DBE=
BD
BE
=
3
2
，
∴∠DBE=30°．
（2）由（1）知：AB⊥BD，
∴S△ABD=
1
2
AB•BD=2
3
．
又∵S△BDC=S△ABD=2
3
，而△EBD即為△BDC，
∴S△BDE=2
3
．
又∵AB⊥BE，BE=BC=AD=4，∴S△ABE=
1
2
AB•BE=4．
又DE⊥AD，∴S△ADE=
1
2
AD•DE=4．
故四面體ABDE的表面積為8+4
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=
7
，點E為線段AD上的一點．現(xiàn)將△DCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點E為線段AD的中點，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=
π
3
，AB=CC1=2．
（1）求證：C1B⊥平面ABC；
（2）設E是CC1的中點，求AE和平面ABC1所成角正弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，△ABC是等腰直角三角形∠ACB=90°，AC=2a，D，E分別為AC，AB的中點，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′-BCDE
（Ⅰ）在棱A′B上找一點F，使EF∥平面A′CD；
（Ⅱ）當四棱錐A'-BCDE體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2
3
，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分別是棱AB，AC上的動點，且AD=CE，連接DE，當三棱錐P-ADE體積最大時，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值為（　�。�
A．
1
2
B．
3
2
C．
21
14
D．
5
7
14

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC為等邊三角形，∠APC=90°，AC=2PA=4，且平面PAC⊥平面ABC．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）求二面角B-AP-C的余弦值；
（3）判斷在線段AC上是否存在點Q，使得△PQB為直角三角形？若存在，找出所有符合要求的點Q，并求
AQ
QC
的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折成一個直二面角，則此時BD的長為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，矩形ABEF和正方形ABCD有公共邊AB，它們所在平面成60°的二面角，AB=CB=2a，BE=a，則DE=______．

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