已知{an}為遞增的等比數(shù)列,且{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在等差數(shù)列{bn},使得a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立?若存在,求出bn;若不存在,說明理由.
(1) an=2n-1,         (2) bn=n,
(1)由等比數(shù)列遞增的性質(zhì)得其首項為1,公比為4,可得到通項公式;(2)先由數(shù)列的前兩項滿足等式,求出;再寫出,錯位相減求出。即證出存在數(shù)列{bn},結(jié)論成立
(1)因為{an}是遞增的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}的公比是正數(shù),
又{a1,a3,a5}{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},所以a1=1,a3=4,a5=16,
從而q2=4,q=2,an=a1qn-1=2n-1,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1,
(2)假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{bn},其公差為d.則當n=1時,a1b1=1,
又∵a1=1,∴b1=1;
當n=2時,a1b2+a2b1=4,b2+2b1=4,b2=2.
則d=b2-b1=1,∴bn=b1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
以下證明當bn=n時,a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立.
設(shè)Sn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1
即Sn=1×n+2×(n-1)+22×(n-2)+23×(n-3)+…+2n-2×2+2n-1×1,  ①
2Sn=2×n+22×(n-1)+23×(n-2)+…+2n-1×2+2n×1,              ②
②-①得Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+=2n+1-n-2,
所以存在等差數(shù)列{bn},bn=n,使得a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2對一切n∈N*都成立.
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