(1)由等比數(shù)列遞增的性質(zhì)得其首項為1,公比為4,可得到通項公式;(2)先由數(shù)列的前兩項滿足等式,求出
;再寫出
,錯位相減求出
。即證出存在數(shù)列{b
n},結(jié)論成立
(1)因為{a
n}是遞增的等比數(shù)列,所以數(shù)列{a
n}的公比是正數(shù),
又{a
1,a
3,a
5}
{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},所以a
1=1,a
3=4,a
5=16,
從而q
2=
=4,q=2,a
n=a
1q
n-1=2
n-1,所以數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=2
n-1,
(2)假設(shè)存在滿足條件的等差數(shù)列{b
n},其公差為d.則當n=1時,a
1b
1=1,
又∵a
1=1,∴b
1=1;
當n=2時,a
1b
2+a
2b
1=4,b
2+2b
1=4,b
2=2.
則d=b
2-b
1=1,∴b
n=b
1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
以下證明當b
n=n時,a
1b
n+a
2b
n-1+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2對一切n∈N
*都成立.
設(shè)S
n=a
1b
n+a
2b
n-1+…+a
n-1b
2+a
nb
1,
即S
n=1×n+2×(n-1)+2
2×(n-2)+2
3×(n-3)+…+2
n-2×2+2
n-1×1, ①
2S
n=2×n+2
2×(n-1)+2
3×(n-2)+…+2
n-1×2+2
n×1, ②
②-①得S
n=-n+2+2
2+2
3+…+2
n-1+2
n=-n+
=2
n+1-n-2,
所以存在等差數(shù)列{b
n},b
n=n,使得a
1b
n+a
2b
n-1+…+a
n-1b
2+a
nb
1=2
n+1-n-2對一切n∈N
*都成立.