Question

5．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，T_n取得最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0，利用遞推式可得：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$=$a（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n-1，又a＜0，可得數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．由當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，T_n取得最小值，可得T₃＞T₄，T₄＜T₅，可得b₄＜0，b₅＞0．解出即可．

解答 解：（1）由${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，其中a＜0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}=（{2}^{n-1}-1）{a}_{n-1}$，
∴a_n=（2ⁿ-1）a_n-（2^n-1-1）a_n-1，化為${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a，公比為$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=a（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）${b_n}={a_n}-{log_2}\frac{a_n}{a_1}$=$a（\frac{1}{2}）^{n-1}$+n-1，又a＜0，
∴數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，T_n取得最小值，
∴T₃＞T₄，T₄＜T₅，
解得b₄＜0，b₅＞0．
又當(dāng)b₄＜0，b₅＞0時(shí)，數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，可知：T_n取得最小值時(shí)，n=4．
即當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，T_n取得最小值的充要條件為當(dāng)b₄＜0，b₅＞0．
由b₄＜0，b₅＞0，解得-64＜a＜-24，
∴a的取值范圍是（-64，-24）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．