Question

10．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，若AB、AC、AD兩兩垂直，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2，則該四面體體積的最大值為（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 7$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，進(jìn)而可得a²+b²=14≥2ab，即可求出四面體體積的最大值．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，
∵a²+b²+c²=16，
∴a²+b²=14≥2ab，
∴ab≤7，
∴$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{\sqrt{2}}{6}ab$≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面體體積的最大值為$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查四面體體積的最大值，考查向量知識的運(yùn)用，確定$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2是關(guān)鍵．