Question

20．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：（1）f（x）+f（2-x）=0，（2）f（x-2）=f（-x），（3）在[-1，1]上表達(dá)式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，0]\\ cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]\end{array}$，則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{1-x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象區(qū)間[-3，3]上的交點個數(shù)為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點M（1，0）對稱，又關(guān)于直線x=-1對稱；再結(jié)合g（x）的解析式畫出這2個函數(shù)區(qū)間[-3，3]上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得它們的圖象區(qū)間[-3，3]上的交點個數(shù)．

解答 解：由f（x）+f（2-x）=0，可得函數(shù)f（x）的圖象
關(guān)于點M（1，0）對稱．
由f（x-2）=f（-x），可得函數(shù)f（x）的圖象
關(guān)于直線x=-1對稱．
又f（x）在[-1，1]上表達(dá)式為
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x∈[-1，0]\\ cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]\end{array}$，
可得函數(shù)f（x）在[-3，3]上的圖象以及函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤0}\\{1-x，x＞0}\end{array}\right.$在[-3，3]上的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象區(qū)間[-3，3]上的交點個數(shù)為6，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象的對稱性，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．