Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（ax²-x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求f（|sinx|）的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，即可求出a的范圍．
（Ⅱ）討論a的取值范圍，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax²-x-1），
∴f'（x）=e^x（ax²-x-1）+e^x（2ax-1）=e^x[ax²+（2a-1）x-2]，
①a=0時，顯然不滿足，
②當(dāng)a≠0時，f'（x）≤0恒成立，
即a＜0且（2a-1）²+4×2×a≤0，所以a=-

1

2

（Ⅱ）①當(dāng)

1

a

≥1時，即0＜a≤1，f(|sinx|)min=f(1)=e(a-2)，
②當(dāng)0＜

1

a

＜1時，即a＞1，f(|sinx|)min=f(

1

a

)=e

1

a

(

1

a

-

1

a

-1)=-e

1

a

．

點評：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，是否為二次函數(shù)的判斷，在解答過程中容易忽略判斷二次項的系數(shù)，該地方是易錯點．