若3x2-xy+3y2=20，則8x2+23y2的最大值是
 
．
考點：函數(shù)的最值及其幾何意義
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：根據(jù)條件，利用三角換元法結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡求解即可．
解答： 解：引入?yún)?shù)t，
∵3x2-xy+3y2=20，
∴（x-
y
6
）2+
35
36
y2=
20
3
，
設(shè)
x-
y
6
=
20
3
cosα
35
6
y=
20
3
sinα
，則
x=
20
3
cosα+
2
21
sinα
y=
12
21
sinα
，
代入8x2+23y2并化簡得8x2+23y2=
2232
21
+
1128
21
sin(2α+θ)≤
2232
21
+
1128
21
=160，
當(dāng)且僅當(dāng)y=4x時，8x2+23y2的取得最大值為160，
故答案為：160
點評：本題主要考查考查利用三角換元法求式子的最值，是一道難度較大的競賽試題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

構(gòu)造如圖所示的數(shù)表，規(guī)則如下：先排兩個l作為第一層，然后在每一層的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)和的a倍得下一層，其中a∈（0，
1
3
），設(shè)第n層中有an個數(shù)，這an個數(shù)的和為Sn（n∈N*）．
（I）求an；
（Ⅱ）證明：
n
2
≤
a1-1
S1
+
a2-1
S2
+…+
an-1
Sn
＜(
2
a+1
)n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，其右支上一點P，滿足|PF1|=3，實軸長為1，M是y軸上一點，則
PM
•(
PF1
-
PF2
)=（　�。�
A、
1
2
B、
3
2
C、
5
2
D、
7
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos（θ+
π
6
）和ρcos（θ+
π
6
）=5．
（1）將C1，C2的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點P在曲線C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是學(xué)校從走讀生中隨機(jī)調(diào)查200名走讀生早上上學(xué)所需時間（單位：分鐘）樣本的頻率分布直方圖．
（1）學(xué)校所有走讀生早上上學(xué)所需要的平均時間約是多少分鐘？
（2）根據(jù)調(diào)查，距離學(xué)校500米以內(nèi)的走讀生上學(xué)時間不超過10分鐘，距離學(xué)校1000米以內(nèi)的走讀生上學(xué)時間不超過20分鐘．那么，距離學(xué)校500米以內(nèi)的走讀生和距離學(xué)校1000米以上的走讀生所占全校走讀生的百分率各是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點．
（1）求證：“如果直線l過點（3，0），那么
OA
•
OB
=3”是真命題．
（2）寫出（1）中命題的逆命題（直線l與拋物線y2=2x相交于A，B兩點為大前提），判斷它是真命題還是假命題，如果是真命題，寫出證明過程；如果是假命題，則只需要舉出一個反例說明即可．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計算：lg2+lne-lg102+49log73．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（x-
π
6
）+
1
2
．
（1）若x∈[0，
π
2
]，f（x）=
11
10
，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足2bcosA≤2c-
3
a，求f（B）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax2-x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求f（|sinx|）的最小值．

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同步練習(xí)冊答案