Question

【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的兩條直線、分別交拋物線于點(diǎn)、和、，線段和的中點(diǎn)分別為、.如果直線與的傾斜角互余，求證：直線經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（2）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設(shè)出直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消元后可得，結(jié)合拋物線的定義及條件可得，故拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，則由條件可得直線的斜率為，由直線與拋物線的交點(diǎn)可得點(diǎn)，同理點(diǎn)，故，于是可得直線MN的方程為，可得直線過(guò)定點(diǎn)．

試題解析：

（Ⅰ）由題意可設(shè)直線的方程為，

由消去y整理得，

設(shè)令，，

則，

由拋物線的定義得，

∴，

∴.

∴拋物線的方程為.

（Ⅱ）設(shè)直線、的傾斜角分別為、，直線的斜率為，則.

∵直線與的傾斜角互余，

∴ ，

∴直線的斜率為.

∴直線的方程為，即，

由消去x整理得，

∴，

∴，

∴點(diǎn)，

以代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的，可得點(diǎn)，

∴ .

∴直線的方程為，

即，

顯然當(dāng)，.

∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).