Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都有成立．記．

（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）, （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）由成立，可得時(shí)， ，可得出數(shù)列為等比數(shù)列,從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得；(II)利用（I）的結(jié)論，可得，根據(jù)裂項(xiàng)求和求出數(shù)列的前項(xiàng)和為,再利用放縮法即可證明結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）在中，令得.

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，都有成立， 時(shí)， ，

兩式作差得， ，所以，

又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即，

∴

（Ⅱ）∵，

∴.

∴.

∴對(duì)任意， ．

又，所以， 為關(guān)于的增函數(shù)，所以，

綜上，

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與等比數(shù)列的定義，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題. 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.