Question

17．如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，
ϕ∈（0，π）），x∈[-4，0]的圖象，圖象的最高點為B（-1，2）邊界的中間部分為長1千米的直線段CD，且CD∥EF．游樂場的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧$\widehat{DE}$．
（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達式；
（2）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑 OD上，另外一個頂點P在圓弧$\widehat{DE}$上，且∠POE=θ，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A=2，T=12，代入點求ϕ，從而求解析式；
（2）作圖求平行四邊形的面積S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinθ）2sinθ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，θ∈（0，$\frac{π}{3}$）；從而求最值．

解答 解：（1）由已知條件，得A=2，
又$\frac{T}{4}$=3，T=$\frac{2π}{ω}$，知$ω=\frac{π}{6}$，
當x=-1時，有$y=2sin（-\frac{π}{6}+φ）=2$，
所以$φ=\frac{2π}{3}$，
故曲線段FGBC的函數(shù)表達式為：$y=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）\\;\\;\\;\\;x∈[-4，0]$，x∈[-4，0]；
（2）如圖，$OC=\sqrt{3}$，CD=1，
所以O(shè)D=2，∠COD=$\frac{π}{6}$．
作PP₁⊥x軸于P₁點，在Rt△OPP₁中，PP₁=OPsinθ=2sinθ．
在△OMP中，$\frac{OP}{sin120°}=\frac{OM}{sin（60°-θ）}$，
從而OM=$\frac{OP•sin（60°-θ）}{sin120°}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}•sin（60°-θ）$=$2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$，
S_{平行四邊形OMPQ}=OM•PP₁=$（2cosθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ）•2sinθ$
=$4sinθcosθ-\frac{4\sqrt{3}}{3}si{n}^{2}θ$
=$2sin2θ+\frac{2\sqrt{3}}{3}cos2θ-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ+\frac{π}{6}）-\frac{2\sqrt{3}}{3}$    $θ∈（0，\frac{π}{3}）$
當$2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{6}$時，平行四邊形OMPQ面積最大，為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的作圖能力，屬中檔題．